Halaman
FUNGSIPerhatikan sekelompok siswa yangsedang menerima pelajaran di suatu kelas.Setiap siswa menempati kursinya masing-masing. Tidak mungkin seorang siswamenempati lebih dari satu kursi. Demikianpula tidak mungkin satu kursi ditempati olehlebih dari satu siswa.Dengan demikian, ada keterkaitanantara siswa dengan kursi yang ditempati.Menurutmu, apakah hal ini termasuk fungsi?Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah sehari-hariyang berkaitan dengan relasi dan fungsi;dapat menyatakan suatu fungsi dengan notasi;dapat menghitung nilai fungsi;dapat menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsi diketahui;dapat menyusun tabel pasangan nilai peubah dengan nilai fungsi;dapat menggambar grafik fungsi pada koordinat Cartesius.2Kata-Kata Kunci:relasifungsigrafik fungsiSumber:Dok. Penerbit
32Matematika Konsep dan Aplikasinya 3a. Sebutkan relasi-relasi yang mungkinantara nama-nama pada silsilahtersebut.b. Siapakah ayah dari Lisa, Bowo, danAji?c. Tunjukkan relasi yang memenuhiantara Aditya, Lina, dan Bowo.d. Sebutkan cucu laki-laki Bapak Sitorusdan Ibu Meri.A. RELASISebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian harusmenguasai materi himpunan, anggota himpunan, dan himpunanbagian dari suatu himpunan.1. Pengertian RelasiAgar kalian memahami pengertian relasi, perhatikan Gambar2.1. di samping.Gambar 2.1 menunjukkan suatu kumpulan anak yang terdiriatas Tino, Ayu, Togar, dan Nia berada di sebuah toko alat tulis.Mereka berencana membeli buku dan alat tulis.Tino berencana membeli buku tulis dan pensil, Ayu membelipenggaris dan penghapus, Togar membeli bolpoin, buku tulis, dantempat pensil, sedangkan Nia membeli pensil dan penggaris.Perhatikan bahwa ada hubungan antara himpunan anak ={Tino, Ayu, Togar, Nia} dengan himpunan alat tulis = {buku tulis,pensil, penggaris, penghapus, bolpoin, tempat pensil}. Himpunananak dengan himpunan alat tulis dihubungkan oleh kata membeli.Dalam hal ini, kata membeli merupakan relasi yangmenghubungkan himpunan anak dengan himpunan alat tulis.Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubunganyang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengananggota-anggota himpunan B.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Bagan berikut menunjukkan silsilahkeluarga Bapak Sitorus dan Ibu Meri.Tanda panah menunjukkan hubungan“mempunyai anak”.(Menumbuhkankreativitas)Bentuklah kelompokterdiri atas 4 orang, 2pria dan 2 wanita.Kemudian buatlahrelasi yang meng-hubungkan antaraanggota kelompokmudengan makanan yangdisukai.Gambar 2.1
33Fungsi2. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5} danB = {2, 4, 6, 8, 12}.a. Jika dari A ke B dihubungkan relasi“setengah dari”, tentukan himpunananggota A yang mempunyai kawandi B.b. Jika dari B ke A dihubungkan relasi“kuadrat dari”, tentukan himpunananggota B yang mempunyai kawandi A.3. Diketahui A = {5, 6, 7, 8} danB = {25, 30, 35, 36, 49, 64}.a. Buatlah dua relasi yang mungkin dariA ke B.b. Buatlah dua relasi yang mungkin dariB ke A.4. Diketahui P = {–2, –1, 0, 1, 2} danQ = {0, 1, 2, 3}.a. Buatlah relasi dari P ke Q.b. Buatlah relasi dari Q ke P.2. Cara Menyajikan Suatu RelasiSuatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengandiagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasanganberurutan. Untuk memahami hal tersebut, perhatikan uraian berikutini.Pengambilan data mengenai pelajaran yang disukai padaempat siswa kelas VIII diperoleh seperti pada tabel berikut.Tabel 2.1Tabel 2.1 di atas dapat dinyatakan dengan diagram panah,diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan seperti dibawah ini.Misalkan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, kesenian,keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan“pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkanhimpunan A ke himpunan B.a. Dengan diagram panahGambar 2.2 di bawah menunjukkan relasi pelajaran yangdisukai dari himpunan A ke himpunan B. Arah panahmenunjukkan anggota-anggota himpunan A yang berelasidengan anggota-anggota tertentu pada himpunan B.Nama SiswaPelajaran yang DisukaiBuyungIPS, KesenianDoniKeterampilan, OlahragaVitaIPAPutriMatematika, Bahasa Inggris(Menumbuhkankreativitas)Amatilah kejadian se-hari-hari di lingkungansekitarmu. Berilah 5contoh kejadian yangmerupakan relasi.Ceritakan pengala-manmu secara sing-kat di depan kelas.
34Matematika Konsep dan Aplikasinya 3ABpelajaran yang disukaiBuyungDoniVitaPutriIPSKesenianKeterampilanOlahragaMatematikaIPABahasa InggrisGambar 2.2b. Dengan diagram CartesiusRelasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakandengan diagram Cartesius. Anggota-anggota himpunan Aberada pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunanB berada pada sumbu tegak. Setiap pasangan anggota himpunanA yang berelasi dengan anggota himpunan B dinyatakandengan titik atau noktah. Gambar 2.3 menunjukkan diagramCartesius dari relasi pelajaran yang disukai dari data pada tabel2.1.Gambar 2.3c. Dengan himpunan pasangan berurutanHimpunan pasangan berurutan dari data pada tabel 2.1sebagai berikut.{(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan),(Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasaInggris)}.(Menumbuhkankreativitas)Bentuklah kelompokyang terdiri atas 6orang, 3 pria, dan 3wanita. Tanyakan hobitiap anggota kelom-pokmu. Lalu, sajikandalam diagram panah,diagram Cartesius,dan himpunanpasangan berurutan.BuyungDoniVitaPutriBahasa InggrisIPAIPSMatematikaOlahragaKeterampilanKesenianAB
35FungsiDiketahui A = {1, 2, 3, 4,5, 6}; B = {1, 2, 3, ..., 12};dan relasi dari A ke Badalah relasi “setengahdari”. Nyatakan relasitersebut dalam bentuka. diagram panah;b. diagram Cartesius;c. himpunan pasanganberurutan.Penyelesaian:a. Dengan diagram panahxxxxxxxxxxxx1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12123456xxxxxxABsetengah dariGambar 2.4b. Dengan diagram Cartesius21357213579114681012468ABGambar 2.5c. Dengan himpunan pasangan berurutanMisalkan relasi “setengah dari” dari himpunan A kehimpunan B adalah R, maka R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6),(4, 8), (5, 10), (6, 12)}.
36Matematika Konsep dan Aplikasinya 3Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Diketahui Sinta suka minum susu dan teh,Ketut suka minum kopi, Ita suka minumteh, dan Tio suka minum sprite. Nyatakanrelasi tersebut dalam bentuka. diagram panah;b. diagram Cartesius;c. himpunan pasangan berurutan.2. Relasi dari himpunan A ke himpunan Bditunjukkan pada diagram panah berikut.IndonesiaMalaysiaFilipinaJepangIndiaKuala lumpurManilaJakartaNew DelhiTokyoSingapuraBangkokABa. Nyatakan relasi yang mungkin darihimpunan A ke himpunan B.b. Nyatakan relasi dari A ke B dalambentuk diagram Cartesius.c. Nyatakan relasi dari A ke B dalambentuk himpunan pasanganberurutan.3. Relasi dari A = {a,e,i,o,u} keB = {b,c,d,f,g,h} dinyatakan sebagaiR = {(a, b), (a, c), (e, f ), (i, d ), (o, g),(o, h), (u, h)}.Nyatakan relasi tersebut ke dalam ben-tuk diagram panah dan diagram Car-tesius.4. Relasi dari himpunan P ke himpunan Qdisajikan dalam diagram Cartesiusberikut.213521354646PQTentukan relasi yang memenuhi daridiagram tersebut, kemudian nyatakandalam diagram panah dan himpunanpasangan berurutan.5. Buatlah relasi “akar dari” darihimpunan P = {2, 3, 4, 5} ke himpunanQ = {1, 2, 4, 9, 12, 16, 20, 25} dengana. diagram panah;b. diagram Cartesius;c. himpunan pasangan berurutan.B. FUNGSI ATAU PEMETAAN1. Pengertian FungsiAgar kalian memahami pengertian fungsi, perhatikan uraianberikut.Pengambilan data mengenai berat badan dari enam siswakelas VIII disajikan pada tabel berikut.
37FungsiTabel 2.2Nama Siswa Berat Badan (kg)Anik35Andre34Gita30Bayu35Asep33Dewi32xxxxxx30 3132 33 3435ABAnikAndre GitaBayuAsepDewi xxxxxxberat badanGambar 2.6Gambar 2.6 merupakan diagram panah yang menunjukkanrelasi berat badan dari data pada Tabel 2.2.Dari diagram panah pada Gambar 2.6 dapat diketahui hal-hal sebagai berikut.a. Setiap siswa memiliki berat badan.Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai kawan ataupasangan dengan anggota B.b. Setiap siswa memiliki tepat satu berat badan.Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai tepat satu kawanatau pasangan dengan anggota B.Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwarelasi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yangmemasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Relasiyang demikian dinamakan fungsi (pemetaan). Jadi, fungsi(pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khususyang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggotaB.Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalaha. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;b. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.(Menumbuhkan inovasi)Bentuklah kelompok yang terdiri atas 2 orang, 1 pria, dan 1 wanita.Cari dan amati kejadian-kejadian di lingkungan sekitarmu.Tulislah hal-hal yang t ermasuk fungsi sebanyak 4 buah.Lalu sajikan hasil temuanmu dalam diagram panah, diagramCartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Tulislah dalamsebuah laporan dan kumpulkan kepada gurumu.
38Matematika Konsep dan Aplikasinya 3ABCxxxy fx = ( )Gambar 2.8Di antara relasi yangdisajikan pada diagrampanah berikut manakahyang merupakan fungsi?Berilah alasannya.pqr1234AB(i)pqr1234AB(ii)Gambar 2.7Penyelesaian:(i) Diagram panah pada (i) merupakan fungsi, karenasetiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan diB.(ii) Diagram panah pada (ii) bukan fungsi, karena terdapatanggota A yaitu p mempunyai empat pasangan di Bdan ada anggota A yaitu q dan r tidak mempunyaipasangan di B.2. Notasi dan Nilai FungsiDiagram di samping menggambarkan fungsi yang memetakanx anggota himpunan A ke y anggota himpunan B. Notasi fungsinyadapat ditulis sebagai berikut.g : x6y atau g : x6g(x)dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota BHimpunan A disebut domain (daerah asal).Himpunan B disebut kodomain (daerah kawan).Himpunan C B yang memuat y disebut range (daerah hasil).Dalam hal ini, y = f(x) disebut bayangan (peta) x oleh fungsif. Variabel x dapat diganti dengan sebarang anggota himpunan Adan disebut variabel bebas. Adapun variabel y anggota himpunanB yang merupakan bayangan x oleh fungsi f ditentukan (bergantungpada) oleh aturan yang didefinisikan, dan disebut variabelbergantung.Misalkan bentuk fungsi f(x) = ax+b. Untuk menentukannilai fungsi untuk x tertentu, dengan cara mengganti (menyubstitusi)nilaix pada bentuk fungsi f(x) = ax + b.
39Fungsia. Perhatikan diagram pa-nah pada Gambar 2.9.Tentukan(i) domain;(ii) kodomain;(iii) range;(iv) bayangan dari 1, 2,3, 4, dan 5 olehfungsif.abcde12345ABfGambar 2.9Penyelesaian:(i) Domain = A = {1, 2, 3, 4, 5}(ii) Kodomain = B = {a,b,c,d,e}(iii) Range = {a,c,e}(iv) Bayangan 1 oleh fungsi fadalahf(1) = a.Bayangan 2 oleh fungsi fadalahf(2) = a.Bayangan 3 oleh fungsi fadalahf(3) = c.Bayangan 4 oleh fungsi f adalah f(4) = c.Bayangan 5 oleh fungsi f adalah f(5) = e.b. Diketahui fungsi fdidefinisikan sebagaif(x) = 2x2 – 3x + 1.Tentukan nilai fungsif(x) untuk(i)x= 2;(ii)x= – 3.Penyelesaian:(i) Substitusi nilai x = 2 ke fungsi f(x) = 2x2 – 3x + 1,sehinggaf(x) = 2x2 – 3x + 1 f(2) = 2x2 – 3 u 2 + 1= 8 – 6 + 1 = 3(ii) Substitusi nilai x = –3 ke fungsi f(x),sehingga diperoleh f(x) = 2x2 – 3x + 1 f(–3) = 2 u (–3)2 – 3u(–3) + 1= 18 + 9 + 1= 28Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Di antara diagram panah berikut,manakah yang merupakan fungsi?Berikan alasannya.AB(i)152637AB(ii)2639510
40Matematika Konsep dan Aplikasinya 34. Diketahui daerah asal suatu fungsiP = {1, 3, 7, 8} ke himpunan bilanganasli Q dengan relasi “setengah dari”.a . Tulislah notasi fungsi untuk relasi ter-sebut.b. Tentukan rangenya.c. Tentukan bayangan 3 oleh fungsi f.5. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B himpunanbilangan bulat, relasi berikut ini manakahyang merupakan pemetaan dari A ke B?Berikan alasannya.a. Kurang dari.b. Faktor dari.c. Akar kuadrat dari.d. Dua kurangnya dari.6. Diketahui fungsi f : xo 4x – 1. Tentukannilai fungsi f untuk x = –5, –3, –1, 0, 2, 4,dan 10.7. Fungsi f didefinisikan sebagaif(x) = –2x + 3.a. Tentukan bayangan x = –1 olehfungsi tersebut.b. Tentukan nilai x jika f(x) = 1.2. Diketahui relasi dari himpunan P = {a,b,c,d} ke himpunan Q = {e,f,g}dengan ketentuan aoe,boe,coe,dancof. Apakah relasi tersebutmerupakan suatu fungsi? Mengapa?Jelaskan jawabanmu.3. Di antara relasi dalam himpunan pa-sangan berurutan berikut, tentukanmanakah yang merupakan suatu fungsidari himpunan A = {a,b,c,d} kehimpunan B = {1, 2, 3, 4}. Tentukan puladaerah hasil masing-masing fungsi.a. {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}b. {(a, 2), (b, 4), (c, 4)}c. {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4)}d. {(a, 1), (b, 4), (c, 1), (d, 4)}e. {(d, 1), (d, 2), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}AB(iii)113356AB(iv)26384123. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, DiagramCartesius, dan Himpunan Pasangan BerurutanKalian telah mempelajari bahwa suatu relasi dapat dinyatakandalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasanganberurutan. Karena fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi,maka fungsi juga dapat dinyatakan dalam diagram panah, diagramCartesius, dan himpunan pasangan berurutan.Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsif: A oB ditentukan dengan f(x) = x – 2 makaf(1) = 1 – 2 = –1f(3) = 3 – 2 = 1f(5) = 5 – 2 = 3
41Fungsia. Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut sebagaiberikut.AB1352 10123fGambar 2.10b. Diagram Cartesius dari fungsi f sebagai berikut.1122334 50AB 21Gambar 2.11c. Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f tersebut adalah{(1, –1), (3, 1), (5, 3)}. Perhatikan bahwa setiap anggota Amuncul tepat satu kali pada komponen pertama pada pasanganberurutan.4. Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dariDua HimpunanUntuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin daridua himpunan, perhatikan uraian berikut.a. Jika A = {1} dan B = {a} maka n(A) = 1 dan n(B) = 1.Satu-satunya pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyaidiagram panah seperti tampak pada Gambar 2.12.b. Jika A = {1, 2} dan B = {a} maka n(A) = 2 dan n(B) = 1.Pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B tampak sepertidiagram panah pada Gambar 2.13.c. Jika A = {1} dan B = {a,b} maka n(A) = 1 dan n(B) = 2.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada dua, sepertitampak pada diagram panah pada Gambar 2.14.AB1aGambar 2.12AB12aGambar 2.13
42Matematika Konsep dan Aplikasinya 3AB1abAB1abGambar 2.14d. Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a} maka n(A) = 3 dan n(B) = 1.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada satu,seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.15.e. Jika A = {1} dan B {a,b,c} maka n(A) = 1 dan n(B) = 3.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada tiga, sepertitampak pada diagram panah berikut ini.f. Jika A = {1, 2} dan B = {a,b} maka n(A) = 2 dan n(B) = 2.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat,seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.17.Gambar 2.17g. Jika A = {1, 2, 3} dan B= {a,b} maka n(A) = 3 dan n(B) = 2.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, sepertitampak pada diagram panah pada Gambar 2.18.Gambar 2.18AB123xxxxxabAB123xxxxxabAB123xxxxxabAB123xxxxxabAB123xxxxxabAB1xxx23xxabAABB123xxx123xxxxxabxxabAB123xxxxaGambar 2.151xxxxabcAB1xxxxabcAB1xxxxabcABGambar 2.1612xxxxabAB12xxxxabAB12xxxxabAB12xxxxabAB
43FungsiDengan mengamati uraian tersebut, untuk menentukanbanyaknya pemetaan dari suatu himpunan A ke himpunan B dapatdilihat pada tabel berikut.Berdasarkan pengamatan pada tabel di atas, dapat diambilkesimpulan sebagai berikut.Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = adan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka1. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalahba;2. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalahab.Banyaknya AnggotaHimpunan A Himpunan BBanyaknya Pemetaanyang Mungkin dariA ke BBanyaknya Pemetaanyang Mungkin dariB ke A111 = 111 = 11211 = 122 = 21122 = 211 = 12311 = 133 = 31133 = 311 = 13224 = 224 = 22328 = 239 = 32Jika A = {bilangan primakurang dari 5} danB = {huruf vokal}, hitung-lah banyaknya pemetaana. dari A ke B;b. dari B ke A, tanpamenggambar diagrampanahnya.Penyelesaian:a. A = {2, 3}, n(A) = 2B = {a,e,i,o,u},n(B) = 5Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba= 52 = 25b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab= 25 = 32
44Matematika Konsep dan Aplikasinya 3Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Diketahui P adalah himpunan bilangancacah kurang dari 6 dan Q adalahhimpunan bilangan real . Relasi dari Pke Q ditentukan oleh f:xo 3x – 5.a. Apakah relasi itu merupakan suatupemetaan? Jelaskan.b. Sebutkan daerah asalnya.c. Sebutkan daerah kawannya.d. Sebutkan daerah hasilnya.e. Tentukan f(0),f(2), dan f(4).f. Tentukan nilai x yang memenuhif(x) = 25.2. Gambarlah diagram panah yang mungkindari himpunan A ke himpunan B darisetiap pemetaan berikut.a. A = {p,q}, B = {1, 2, 3}b. A = {p,q,r}, B = {1, 2}3. Jika A = {x|–2 < x< 2, x B} danB = {x|xbilangan prima < 8}, tentukana. banyaknya pemetaan dari A ke B;b. banyaknya pemetaan dari B ke A.4. Suatu fungsi dari A ke B didefinisikansebagaif(x) = –2x + 7. Jika A = {x | –1<xd 5} dan B adalah himpunanbilangan bulat makaa. tentukan f(x) untuk setiap x A;b. gambarlah fungsi f(x) dalam diagrampanah, diagram Cartesius, danhimpunan pasangan berurutan.C. MENENTUKAN RUMUS FUNGSI JIKANILAINYA DIKETAHUIPada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari caramenentukan nilai fungsi jika rumus fungsinya diketahui. Sekarang,kalian akan mempelajari kebalikan dari kasus tersebut, yaitu jikanilai fungsinya diketahui.Pada pembahasan ini bentuk fungsi yang kalian pelajarihanyalahfungsi linear saja, yaitu f(x) = ax + b. Untuk bentukfungsi kuadrat dan pangkat tinggi akan kalian pelajari pada tingkatyang lebih tinggi.Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f:x6ax+b, denganadanbkonstanta dan xvariabel maka rumus fungsinya adalahf(x) = ax+b. Jika nilai variabel x=mmaka nilai f(m) = am+b.Dengan demikian, kita dapat menentukan bentuk fungsi fjikadiketahui nilai-nilai fungsinya. Selanjutnya, nilai konstanta adanbditentukan berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui.Agar kalian mudah memahaminya pelajarilah contoh berikut.Diketahui suatu fungsif(x) = ax + b, denganf(1) = 3 dan f(–2) = 9.Tentukan bentukfungsif(x).
45FungsiDiketahuif fungsi lineardenganf(0) = –5 danf(–2) = –9. Tentukanbentuk fungsi f(x).1. Diketahui suatu fungsi linearf(x) = 2x + m. Tentukan bentuk fungsitersebut jika f(3) = 4.2. Jika f(x) = ax+b,f(1) = 2, dan f(2) = 1maka tentukana. bentuk fungsi f(x);b. bentuk paling sederhana darif(x – 1);c. bentuk paling sederhana darif(x) + f(x – 1).3. Diketahui f(x) = ax+b. Tentukan bentukfungsi-fungsi berikut jikaa.f(1) = 3 dan f(2) = 5;b.f(0) = –6 dan f(3) = –5;c.f(2) = 3 dan f(4) = 4.Penyelesaian:Karenaf fungsi linear, maka f(x) = ax + b.Dengan demikian diperolehf(0) = –5f(0) = a (0) + b= –5 0 + b= –5 b= –5Untuk menentukan nilai a, perhatikan langkah berikut.f(–2) = –9f(–2) = a (–2) + b= –9 –2a – 5= –9 –2a= –9 + 5 –2a= –4 a=42 a= 2Jadi, fungsi yang dimaksud adalah f(x) = ax+ b = 2x – 5.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.4. Diketahui f(x) = (x + a) + 3 dan f(2) = 7.Tentukana. bentuk fungsi f(x);b. nilai f(–1);c. nilai f(–2) + f(–1);d. bentuk fungsi f(2x – 5).5. Diketahui dua buah fungsi, yaituf(x) = 2 – 2ax dan g(x) = 2 – (a – 3)x.Jikaf(x) = g(x), tentukana. nilai a;b. bentuk fungsi f(x) dan g(x);c. bentuk fungsi f(x) + g(x);d. nilai f(–1),f(2),g(1), dan g(4)
46Matematika Konsep dan Aplikasinya 3Diketahui suatu fungsidinyatakan denganf : xox2 – 1, untuk xbilangan bulat.a. Tentukan rumusfungsif(2x + 2) dannilai-nilainya untukx = –2, –1, 0, 1, 2.b. Tentukan rumusfungsif(x + a) untuksuatua bilanganbulat dan tentukannilai perubahanfungsif(x + a) – f(x).c. Jika x adalah varia-bel pada himpun-an bilangan real,tentukan nilai per-ubahan fungsif(x) – f(x – a), untuksuatua bilanganreal.D. MENGHITUNG NILAI PERUBAHAN FUNGSIJIKA NILAI VARIABEL BERUBAHKalian telah mempelajari bahwa suatu fungsi f(x) mempunyaivariabelxdan untuk nilai variabel x tertentu, kita dapat menghitungnilai fungsinya. Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akanmenyebabkan perubahan pada nilai fungsinya.Misalkan fungsi f ditentukan oleh f:x6 5x + 3 dengandomain {x/–1dxd 3, x bilangan bulat}. Nilai fungsi darivariabelxadalahf(–1) = 5(–1) + 3 = –2;f(0) = 5(0) + 3 = 3;f(1) = 5(1) + 3 = 8;f(2) = 5(2) + 3 = 13;f(3) = 5(3) + 3 = 18;Jika variabel x diubah menjadi x+ 3 maka kita harusmenentukan nilai dari fungsi f(x + 3). Untuk menentukan nilaif(x + 3), terlebih dahulu kalian harus menentukan variabel baru,yaitu (x + 3) sehingga diperoleh nilai-nilai variabel baru sebagaiberikut.–1 + 3 = 20 + 3 = 31 + 3 = 42 + 3 = 53 + 3 = 6Setelah kalian menentukan nilai-nilai variabel baru, yaitu(x+ 3) = 2, 3, 4, 5, 6, tentukan nilai-nilai f(x+ 3) berdasarkanpemetaanf : (x+ 3) o 5(x+ 3) + 3.Dengan demikian, diperolehf(2) = 5 (2) + 3 = 13;f(3) = 5 (3) + 3 = 18;f(4) = 5 (4) + 3 = 23;f(5) = 5 (5) + 3 = 28;f(6) = 5 (6) + 3 = 33;Nilai perubahan fungsi dari f(x) menjadi f(x+ 3) yaitu selisihantaraf(x) dan f(x+ 3), dituliskan f(x + 3) – f(x).
47FungsiUntuk menentukan nilai perubahan fungsi f(x) dapatdinyatakan seperti tabel berikut.Berdasarkan tabel di atas tampak bahwa untuk semua nilaix domain, nilai perubahan fungsi f(x + 3) – f(x) = 15.Cara lain untuk menentukan nilai perubahan fungsi sebagaiberikut.Tentukan terlebih dahulu fungsi f(x + 3).Diketahuif(x) = 5x+ 3 maka f(x+ 3) = 5(x + 3) + 3= 5x + 15 + 3= 5x + 18Nilai perubahan fungsi dari f(x) menjadi f(x + 3) adalah selisihantaraf(x) dan f(x + 3) sebagai berikut.f(x+ 3) – f(x) = (5x + 18) – (5x + 3)= 5x + 18 – 5x – 3= 15x–10123f(x) = 5x +3– 2381318x + 323456 f(x + 3) = 5(x + 3) + 31318232833f(x + 3) – f(x)1515151515Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Fungsi f didefinisikan sebagaif(x) = 2x – 6.a. Tentukan rumus fungsi yang palingsederhana dari f(x+ 1),f(2x – 1),danf(x2).b. Tentukan rumus fungsi untukf(x–a) untuk suatu bilangan asli adan tentukan perubahan fungsif(x+a) – f(x).2. Jika fungsi f dirumuskan denganf(x) = 4x + 3, untuk xbilangan real makatentukan rumus fungsi yang paling seder-hana dari f(x– 3) dan f(x) – f(x– 3).3. Diketahui fungsi f(x) = 2x untuk suatu xbilangan real.a. Apakah fungsi f(–x) = –f(x)?b. Bagaimana dengan fungsi f(x) = x2?Apakahf(–x) = –f(x)?4. Jika f(x) = x+ 1 untuk xbilangan ganjil,apakah fungsi f(–(x+ 2)) = f(–x–2)?5. Jika f(x) = 4x – 5 untuk xbilangan realmaka tentukan nilai xyang memenuhipersamaanf(x) = f(2x + 1).
48Matematika Konsep dan Aplikasinya 3E. GRAFIK FUNGSI/PEMETAANSuatu pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan Bdapat dibuat grafik pemetaannya. Grafik suatu pemetaan (fungsi)adalah bentuk diagram Cartesius dari suatu pemetaan (fungsi).Gambarlah grafik fungsif : x6x + 3 dengandomaina. {x | 0 dxd 8, xbilangan bulat};b. {x | 0 dxd 8, xbilangan real}.Penyelesaian:Untuk memudahkan menggambar grafik fungsif : x6 x + 3, kita buat terlebih dahulu tabel yangmemenuhi fungsi tersebut, sehingga diperoleh koordinattitik-titik yang memenuhi.a.Berdasarkan Gambar 2.19, tampak bahwa grafik fungsif : x6x + 3, dengan {x | 0 dxd 8, x bilanganbulat}, berupa titik-titik (noktah) saja.xy = x + 3(x,y)03(0, 3)14(1, 4)25(2, 5)36(3, 6)47(4, 7)58(5, 8)69(6, 9)710(7, 10)811(8, 11)21357213579114681012468XYGambar 2.19
49Fungsib.Pada Gambar 2.20 tampak grafik fungsi f : x6x + 3,dengan {x | 0 dxd 8, x bilangan real}. Titik-titik yangada dihubungkan hingga membentuk kurva/garis lurus.Mengapa?Gambar 2.20Fungsif pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukanoleh rumus f(x) = ax + b dengan a,b R dan az 0 disebutfungsi linear. Grafik fungsi linear berupa suatu garis lurus denganpersamaany = ax + b. Grafik fungsi linear akan kalian pelajaripada bab selanjutnya.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.21357213579114681012468XY1. Di antara grafik berikut manakah yangmerupakan grafik fungsi dari f(x) jikasumbu Xadalah daerah asal?a.0XYb.0XY
50Matematika Konsep dan Aplikasinya 3c.0XYd.0XYe.0XY2. Fungsi f(x) didefinisikan sebagaif(x) = x2 + x dengan domainA = {x | –2 dxd 2, x R} kehimpunan bilangan real R.a. Gambarlah grafiknya pada bidangCartesius.b. Berbentuk apakah grafik tersebut?3. Diketahui fungsi f(x) didefinisikansebagaif(x) = 2x2 – 1.a. Gambar grafiknya pada bidangCartesius jika x adalah variabel padahimpunan bilangan cacah.Berbentuk apakah grafik tersebut?b. Gambar grafiknya pada bidangCartesius jika x adalah variabel padahimpunan bilangan real.Berbentuk apakah grafik tersebut?4. Fungsi f(x) dirumuskan dengan f(x) =12x dengan domain {x | 1 d xd 12;x C} ke himpunan bilangan cacah.a. Buatlah tabel pasangan nilai x dan yyang memenuhi fungsi tersebut.b. Gambarlah grafiknya pada bidangCartesius.5. Diketahui fungsi f : xo 3x – 5 dengandomain P = {x | 0 dxd 5, x C} kehimpunan bilangan real.a. Gambarlah grafiknya pada bidangCartesius.b. Berbentuk apakah grafik fungsitersebut?F. KORESPONDENSI SATU-SATUAgar kalian memahami pengertian korespondensi satu-satu,perhatikan Gambar 2.21.Perhatikan deretan rumah di suatu kompleks rumah (peru-mahan). Setiap rumah memiliki nomor rumah tertentu yang berbedadengan nomor rumah yang lain.Mungkinkah satu rumah memiliki dua nomor rumah? Ataumungkinkah dua rumah memiliki nomor rumah yang sama? Tentusaja jawabannya tidak. Keadaan sebuah rumah memiliki satunomor rumah atau satu nomor rumah dimiliki oleh sebuah rumahdikatakan sebagai korespondensi satu-satu.Sumber:Dok. PenerbitGambar 2.21
51FungsiContoh lain yang menggambarkan korespondensi satu-satusebagai berikut. Enam orang siswa bermain bola voli dengan nomorpunggung 301 – 306. TernyataBonar bernomor punggung 301;Asti bernomor punggung 302;Reni bernomor punggung 303;Asep bernomor punggung 304;Buyung bernomor punggung 305;Beta bernomor punggung 306.Selanjutnya, jika kita misalkan A = {Bonar, Asti, Reni, Asep,Buyung, Beta} dan B = {301, 302, 303, 304, 305, 306} maka“bernomor punggung” adalah relasi dari A ke B.Relasi “bernomor punggung” dari himpunan A ke himpunanB pada kasus di atas dapat digambarkan dalam bentuk diagrampanah berikut.Bonar301Asti302Reni303Asep304BuyungBeta305306ABbernomorpunggungGambar 2.22Perhatikan bahwa setiap anggota A mempunyai tepat satukawan di B. Dengan demikian, relasi “bernomor punggung” darihimpunan A ke himpunan B merupakan suatu pemetaan. Selan-jutnya, amati bahwa setiap anggota B yang merupakan peta (ba-yangan) dari anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota A.Pemetaan dua arah seperti contoh di atas disebut korespon-densi satu-satu atau perkawanan satu-satu.Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Korespondensi satu-satu adalah fungsi yang memetakananggota dari himpunan A dan B, dimana semua anggota Adan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggotaA berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiapanggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A. Jadi,banyak anggota himpunan A dan B harus sama atau n(A) =n(B).(Menumbuhkankreativitas)Tulislah kejadian se-hari-hari di lingkungansekitarmu yangmerupakan contohkorespondensi satu-satu.Ceritakan hasil temu-anmu secara singkatdi depan kelas.
52Matematika Konsep dan Aplikasinya 3Jika kalian mengerjakannya dengan tepat maka kalian akanmenyimpulkan seperti berikut ini.Jikan(A) = n(B) = n maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalahn! = nu (n– 1) u (n– 2) u ... u 3 u 2 u 1.n! dibaca : n faktorial.(Berpikir kritis)Buatlah kelompok terdiri atas 4 orang, 2 pria dan 2 wanita.Untuk menentukan banyaknya korespondensi satu-satu yangmungkin antara himpunan A dan B, buatlah diagram-diagram panahyang mungkin jika banyak anggota A dan B seperti pada tabel berikut.Salin dan lengkapi tabel berikut. Kemudian, buatlah kesimpulannya.222 = 2 u 1336 = 3 u 2 u 14424 = 4 u ... u ... u ...55................nn....Banyak AnggotaHimpunan A =n(A)Banyak AnggotaHimpunan B =n(B)Banyak KorespondensiSatu-Satu yang Mungkinantara Himpunan A dan BKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Di antara diagram panah di bawah ini,manakah yang menunjukkan korespon-densi satu-satu?ABabcxxxxxxdef(i)ABabcxxxxxxxdefg(ii)ABacxxxxdf(iii)ABabcdxxxxxxxxdefg(iv)ABbxxe(v)2. Jika P = {–2, –1, 0, 1, 2}, apakah fungsif : P o P yang didefinisikan di bawahini merupakan korespondensi satu-satu?a.f:x6 –xb.f : x6x2
53Fungsic.f(x) = 2, untuk 2, 1, 01, untuk 1, 2xxxx °® ° ̄d.f(x) = 2x2 – 13. Diketahui R = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} danS = {bilangan cacah}.Suatu pemetaan g : R o S didefinisikansebagai berikut.•g:x6x2 + 1, untuk x = –3, –2, –1dan•g : x6 3x + 2, untuk x= 0, 1, 2, 3a. Tentukan daerah hasil pemetaan itu.b. Gambarlah diagram Cartesius peme-taan itu.c. Nyatakan pemetaan tersebut dalamhimpunan pasangan berurutan.d. Apakah pemetaan tersebut termasukkorespondensi satu-satu? Mengapa?4. Di antara dua himpunan berikut ini mana-kah yang dapat dibuat korespondensi satu-satu?a. A = {nama hari dalam seminggu}B = {bilangan prima antara 1 dan 11}b. P = {a,e,i,o,u}Q = {lima kota besar di Pulau Jawa}c. A = {nama bulan dalam setahun}B = {nama hari dalam seminggu}d. C = {bilangan genap kurang dari 10}D = {bilangan prima kurang dari 10}5. Berapa banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari himpunanberikut?a. A = {faktor dari 6} danB = {faktor dari 15}b. K = {huruf vokal} danL = {bilangan cacah antara 0 dan6}1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yangmemasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.2. Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengandiagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasanganberurutan.3. Fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalahrelasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengantepat satu anggota B.(Berpikir Kritis)Coba cek j awaban soal no. 5 pada Uji Kompet ensi 8 denganmenggunakan kalkulator. Tekanlah notasi x! di kalkulator.Apakah hasilnya sama?
54Matematika Konsep dan Aplikasinya 34. Jika x anggota A (domain) dan y anggota B (kodomain) makafungsif yang memetakan x ke y dinotasikan dengan f : x6y,dibaca fungsi f memetakan x ke y atau x dipetakan ke y olehfungsif.5. Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = adanbanyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = bmakaa. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalahba;b. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalahab.6. Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akanmenyebabkan perubahan pada nilai fungsinya.7. Dua himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satujika semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikiansehingga setiap anggota A berpasangan dengan tepat satuanggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan tepatsatu anggota A.8. Jika n(A) = n(B) = n maka banyak korespondensi satu-satuyang mungkin antara himpunan A dan B adalahn! = nu (n – 1) u (n – 2) u ... u 3 u 2 u 1.Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah pahammengenaiFungsi? Jika kalian sudah paham, coba rangkum kembalimateri ini dengan kata-katamu sendiri. Bagian mana dari materiini yang belum kamu pahami? Catat dan tanyakan kepada temanmuyang lebih tahu atau kepada gurumu. Kemukakan hal ini secarasingkat di depan kelas.Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.1.ABxxxxxx(i)123xyzABxxxxxx(ii)123xyzABxxxxxx(iii)123xyzABxxxxxx(iv)123xyz
55FungsiABxxxxxx(v)123xyzDari diagram panah di atas yangbukan merupakan pemetaan adalah....a. (i) dan (iii)b. (ii) dan (iii)c. (ii) dan (iv)d. (iv) dan (v)2. Himpunan pasangan berurutan yangmenunjukkan fungsi f : xo 2x + 5dari domain {1, 3, 5, 7} adalah ....a. {(1, 7), (3, 11), (5, 15), (7, 19)}b. {(1, 5), (3, 5), (5, 5), (7, 5)}c. {(1, 2), (3, 7), (5, 9), (7, 11)}d. {(7, 1), (11, 3), (15, 5), (19, 7)}3. Pada pemetaan {(1, 6), (2, 5), (3, 7),(4, 0), (5, 1)} domainnya adalah ....a. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}b. {1, 2, 3, 4, 5}c. {1, 2, 3}d. {0}4. Jika f(x) = x2 + 4 maka 29 adalah ba-yangan dari ....a. 2c. 5b. 3d. 65. Banyaknya pemetaan yang mungkindari himpunan A = {a,i} ke himpunanA sendiri adalah ....a. 2c. 4b. 3d. 86.ABxyzxxxxxxxpqrsDi antara pernyataan berikut, yang ti-dak benar adalah ....a. domain = {x,y,z}b. kodomain = {p,q,r,s}c.r B tidak mempunyai pasangandi Ad. diagram tersebut menunjukkan ko-respondensi satu-satu7. Berikut ini yang merupakan korespon-densi satu-satu adalah ....a. {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}b. {(1, a), (2, c), (3, d)}c. {(1, b), (2, c), (3, b)}d. {(a, b), (c, d), (b, d)}8. Grafik fungsi ditunjukkan oleh gambar....a.0XYb.0XYc.0XYd.0XY
56Matematika Konsep dan Aplikasinya 39. Pada fungsi linear f(x) = ax + bdenganf(1) = 0 dan f(0) = –2, rumusfungsif(x) = ....a.x – 4b. 2x – 2c.x + 3d. 2x + 510. Jika f(x) = ax + b maka nilaiperubahan fungsi f(x) – f(x + 1) = ....a. 0b. 1c.ad.aB. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.1. Diketahui P adalah himpunan bilangangenap kurang dari 100 dan A adalahhimpunan bilangan asli. Relasi dari Pke A ditentukan oleh f:x6x2.a. Nyatakan relasi itu dengan himpun-an pasangan berurutan.b. Apakah relasi itu merupakan suatupemetaan? Jelaskan.c. Sebutkan daerah asalnya.d. Sebutkan daerah kawannya.e. Sebutkan daerah hasilnya.f. Tentukan nilai x yang memenuhif(x) = 64.2. a. Buatlah relasi antara himpunan hariSenin sampai dengan hari Sabtu kehimpunan jadwal mata pelajaran dikelasmu. Apakah relasi itu merupa-kan pemetaan? Mengapa?b. Buatlah relasi dari himpunan jadwalmata pelajaran di kelasmu kehimpunan hari Senin sampai denganSabtu. Apakah relasi itu merupakanpemetaan? Mengapa?3. DiketahuiK = himpunan warna lampu lalu lintas.L = himpunan titik sudut segitiga ABC.a. Gambarlah diagram panah yangmenunjukkan korespondensi satu-satu dari himpunan K ke L.b. Berapa banyaknya korespondensisatu-satu yang mungkin terjadi?4. Diketahui fungsi f dinyatakan denganf : x6 3x – 5, untuk xbilangan real.a. Tentukan rumus fungsi yang palingsederhana dari f(x + 2), f(2x – 1),danf(–x + 5).b. Tentukan nilai a sehingga f(a + 2)=f(2a – 1).5. Diketahui f fungsi linear denganf(x) = ax + 1 dan f(6) = 4. Tentukana. bentuk fungsinya;b. nilai f(–2);c. nilai f(–2) + f(2);d. bentuk fungsi f(2x –1).